对偶矩阵的对偶值函数及其在因果涌现中的应用
数值分析
2024-11-14 v1 数值分析
摘要
本文提出了对偶延拓这一创新见解，即基于Gâteaux导数将实矩阵的实值函数延拓为对偶矩阵的对偶值函数。理论上，给出了实数域中剩余性质的对偶值向量和矩阵范数的一般形式。特别地，我们关注对偶值向量p-范数(1≤p≤∞)和酉不变对偶值Ky Fan p-k-范数(1≤p≤∞)。随后证明了对偶值Ky Fan p-k-范数与对偶矩阵前k个奇异值的对偶值向量p-范数的等价性。在应用方面，我们定义了对偶转移概率矩阵(DTPM)及其对偶值有效信息(EI_d)。此外，阐明了EI_d、对偶值Schatten p-范数与DTPM动力学可逆性之间的相关性。通过在哑铃马尔可夫链上的数值实验，我们的发现表明：通过在区间[1,2)中调整p，对偶值Ky Fan p-k-范数无穷小部分最大值所对应的k值，表征了因果涌现发生时系统的最优分类数。
引用
@article{arxiv.2411.08377,
title = {Dual-Valued Functions of Dual Matrices with Applications in Causal Emergence},
author = {Tong Wei and Weiyang Ding and Yimin Wei},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.08377},
year = {2024}
}