衰减湍流的对偶理论. 2. 数值模拟与连续极限

这是研究湍流衰减环路方程精确解系列的第二篇论文。我们对之前工作中提出的作为环路方程解的欧拉系综进行了数值模拟。我们设计了新颖的模拟算法，该算法占用少量计算机RAM，因此只有CPU时间随系统大小及其统计量线性增长。该算法使我们能够模拟具有数十亿个间断点的分形曲线（对衰减湍流的对偶）上的系统。对于涡量相关函数，我们得到了\textbf{量子分形定律}，其指数在通用离散值之间发生状态变化。传统的用分形或多分形标度律描述湍流的方法在这里不适用。测量到的涨落变量的条件概率是尺度对数的光滑函数，在我们大量的随机样本（$T = 167,772,160$，分形曲线上$N = 200,000,000$个点）下统计误差可忽略。量子跳跃源于标度变量$X = \frac{\cot^2(\pi p/q)}{q^2}$的解析分布，其中$\frac{p}{q}$是随机分数。该分布与欧拉和函数相关，是$X$的不连续函数。特别地，能谱是一个魔鬼阶梯，具有倾斜的不均匀台阶，斜率在$-1$到$-2.03$之间。能量衰减的对数导数$n(t)$作为时间的函数，在$1.50$到$1.53$之间的通用水平台阶上跳跃。这种量子化的定量验证需要更精确的实验数据。