图的对偶互补多项式与Tutte多项式在正整数处值的组合解释
组合数学
2013-06-11 v2
摘要
我们通过计数带有定向ε的图G的模（整）互补张力-流（CTF）的数量，引入图G的一个二元模（整）互补多项式κ(G;x,y)（κ_z(G;x,y)）。我们通过进一步引入定向上的割-欧拉等价关系以及几何结构，如互补开格多面体Δ_ctf(G,ε)、互补开0-1多胞体Δ^+_ctf(G,ε)和关于定向ρ的互补开格多胞体Δ^ρ_ctf(G,ε)，来研究这些多项式。多项式κ(G;x,y)（κ_z(G;x,y)）是模（整）张力多项式τ(G,x)（τ_z(G,x)）和模（整）流多项式φ(G,y)（φ_z(G,y)）的共同推广，并可分解为互补开0-1多胞体Δ^+_ctf(G,ρ)的Ehrhart多项式的乘积之和。存在对偶互补多项式κ̄(G;x,y)和κ̄_z(G;x,y)，分别与κ和κ_z对偶，其意义在于Ehrhart多项式的格点计数是在膨胀的闭多胞体κ̄Δ^+_ctf(G,ρ)的拓扑和内部进行的。结果表明，多项式κ̄(G;x,y)正是Whitney的秩生成多项式R_G(x,y)，这为Tutte多项式T_G(x,y)在正整数处的值提供了一种组合解释。特别地，κ_z和κ̄_z（κ和κ̄）的某些特殊值计数了特定种类（的等价类）定向的数量。
引用
@article{arxiv.1105.2675,
title = {Dual complementary polynomials of graphs and combinatorial interpretation on the values of the Tutte polynomial at positive integers},
author = {Beifang Chen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1105.2675},
year = {2013}
}
备注
28 pages, 3 figures