带复参数的Kac-Murdock-Szegő矩阵的双重、边界与异常特征值

对于所有足够大的复参数$\rho$，以及任意矩阵维数$n$，我们证明Kac--Murdock--Szegő矩阵$K_n(\rho)=\left[\rho^{|j-k|}\right]_{j,k=1}^{n}$恰好具有两个模大于$n$的特征值。我们讨论了这两个“异常”特征值的若干性质。在给定$n$的条件下，我们发展了若干条件，使得无需实际计算特征值即可找出所有产生模为$n$的特征值(称为“边界”特征值)的$\rho$值。上述$\rho$值在复$\rho$平面上形成两条闭曲线。我们详细描述了这些依赖于$n$的曲线。一个有趣的边界情形出现在$K_n(\rho)$的特征值等于$-n$时：除某些例外情况外，这发生当且仅当该特征值是二重的；且当且仅当点$\rho$是两条闭曲线之一的尖点型奇点。