曲率驱动二维粗化中的畴生长形貌

我们结合精确分析与数值研究，针对多种初始条件，研究了曲率驱动二维粗化过程中的畴面积分布、由畴边界（即“壳”，hulls）所围成的面积分布以及周长分布。我们表明，对于无序初始条件，单位面积内 enclosed 面积在区间 $(A,A+dA)$ 的壳的数量 $n_h(A,t) dA$ 由标度函数 $n_h(A,t) = 2c_h/(A + \lambda_h t)^2$ 描述，其中 $c_h=1/8\pi\sqrt{3} \approx 0.023$ 是一个普适常数，$\lambda_h$ 为材料参数。对于临界初始条件，可获得相同的形式，$\lambda_h$ 不变，但 $c_h$ 替换为 $c_h/2$。对于畴面积分布，我们认为在随机初始条件下，相应的标度函数形式为 $n_d(A,t) = 2c_d (\lambda_d t)^{\tau'-2}/(A + \lambda_d t)^{\tau'}$，其中 $c_d=c_h + {\cal O}(c_h^2)$，$\lambda_d=\lambda_h + {\cal O}(c_h)$，且 $\tau' = 187/91 \approx 2.055$。对于临界初始条件，将 $c_d$ 替换为 $c_d/2$（可能伴有 ${\cal O}(c_h^2)$ 的修正），指数变为 $\tau = 379/187 \approx 2.027$。这些结果被推广用于描述围绕自旋取向一致的连通团簇的壳长及畴壁的数量密度。广泛的数值模拟支持了这些预测。我们还通过数值方法研究了边界与面积的几何性质。