通过有限完备化区分四维几何

众所周知，在 Thurston 意义下四维流形有 19 类几何。我们可追问：闭光滑几何四维流形的基本群的有限完备化在多大程度上揭示了几何信息。本文中，我们证明除几何为 $\mathbb{H}^{4}$、$\mathbb{H}^{2}_{\mathbb{C}}$ 或 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{H}^2$ 的情形外，Thurston 意义下闭可定向四维流形的几何可由其基本群的有限完备化探测到。此外，尽管并非每个光滑四维流形都能承认 Thurston 意义下的某种几何，一些具有 Seifert 纤维结构的四维流形确实是几何的。对于闭可定向 Seifert 纤维四维流形 $M$，我们证明 $M$ 是否为几何的可由其基本群的有限完备化探测到。