度量测度空间的距离分布与反问题

数据科学、形状分析和对象分类中的应用经常需要比较定义在不同外围空间上的概率分布。为此，需要给定一类度量测度空间（即赋予概率测度的紧度量空间）上的距离概念。此类距离通常定义为度量测度空间不变量之间的比较，例如距离分布（文献中也称为形状分布、距离直方图或形状上下文）。一般而言，由距离分布定义的距离是伪度量，因为在比较非同构空间时它们可能为零。本文的目标是建立一个形式化框架来评估距离分布的判别能力，即这些伪度量在多大程度上未能定义真正的度量。我们用这些不变量表述了若干精确的反问题，并在几类度量测度空间中予以解答，包括平面曲线类（我们给出了 Brinkman 和 Olver 的曲线直方图猜想的反例）、嵌入流形与黎曼流形类（我们得到了球面刚性结果），以及度量图类（我们沿着 Boutin 和 Kemper 关于点云构型的经典工作思路得到了局部单射结果）。通过引入度量测度空间上 Gromov-Wasserstein 距离的一个变体，进一步将这些反问题置于背景中，该变体受最优传输原始 Monge 公式的启发。