离散迹定理与平面图的能量最小化弹簧嵌入
组合数学
2020-07-10 v3
摘要
Tutte 的弹簧嵌入定理指出，对于一个三连通平面图，若将图的外面固定为平面内某凸区域之补集，且所有其他顶点置于其邻域的质心处，则得到唯一嵌入，且该嵌入为平面嵌入。由此亦相当迅速地得出：在外部面嵌入给定的条件下，该嵌入最小化边长度平方和。然而，如何嵌入此外部面并不清楚。我们考虑在某种归一化下嵌入此外部面以使边长度平方和最小化的极小化问题。本文中，我们展示了该优化问题与关于内部顶点的图 Laplacian 的 Schur 补之间的联系。我们证明了一系列离散迹定理，并利用这些新结果，证明了对一大类图，该 Schur 补与边界 Laplacian 的二分之一次幂谱等价。利用此结果，我们给出了该优化问题的理论保证，并由此启发了一种用于嵌入弹簧嵌入外部面的算法。
引用
@article{arxiv.2001.10928,
title = {Discrete Trace Theorems and Energy Minimizing Spring Embeddings of Planar Graphs},
author = {John C. Urschel and Ludmil T. Zikatanov},
journal= {arXiv preprint arXiv:2001.10928},
year = {2020}
}