离散时间处理数

我们引入了图的离散时间处理数的概念，在每个时间步中，每个顶点恰好处于三种状态之一：受损、脆弱或已治疗。我们的处理数与其他仅使用两种状态的图搜索参数不同，如火灭逃生问题或 Bernshteyn 和 Lee 的检查数。顶点代表个体，边代表具有密切联系的个体之间的关系。每个顶点最初处于受损状态；即使治疗后也可能再次受损。我们的目标是治疗整个 population，使得在最后一个时间步时，没有成员处于脆弱或受损状态，同时最小化每个时间步内发生的最大治疗次数。这个最小值就是处理数，它取决于顶点可以保持已治疗状态的预定长度为 $r$ 和在未被治疗的情况下保持脆弱状态的时长 $s$。我们用图 $H$ 的路径宽度记作 $pw(H)$，并证明图的处理数上界为 $\lceil \frac{1+pw(H)}{r+s}\rceil$。这等于警惕治疗计划的最佳下界；即在首次治疗后，在每个连续 $r+s$ 时间步内都对该顶点进行治疗，直到其最后一次治疗为止。然而，许多图允许的计划并非警惕计划。当 $r=s=1$ 时，我们发现一个有用的下界工具，证明 $n\times n$ 网格的处理数等于 $\lceil\frac{1+n}{2}\rceil$，描述需要每个时间步只进行一次治疗的图，证明对一条边进行细分可以降低处理数。已知存在路径宽度任意大的树；令人惊讶的是，我们证明对于任意树 $T$，都存在一个细分 $T$，其处理数最多为每个时间步两次治疗。