周期函数空间的直接和分解：$$\mathbb{P}_n = \bigoplus \limits_{d|n} \ker(\Phi_d(E))$$

已证明基本周期为 $p$ 的所有周期函数空间 $\mathbb{P}_p$ 是所有基本周期为 $p/2$ 的周期函数空间 $\mathbb{P}_{p/2}$ 与所有基本反周期为 $p/2$ 的反周期函数空间 $\mathbb{AP}_{p/2}$ 的直接和。本文研究了周期函数、分圆多项式、单位根、循环矩阵以及某些差分方程类之间的一些联系。特别地，我们给出并证明了某类差分方程存在整数周期或任意周期的周期解的充分条件。我们还证明了整数周期为 $n$ 的所有周期函数空间 $\mathbb{P}_n$ 可分解为算子核 $\ker (\Phi_d(E))$ 的直接和，其中 $\Phi_d(E),\, 1 \leq d \leq n, d|n$ 是平移算子 $E$ 的分圆多项式。我们给出并证明了重要的定理，给出并证明了常系数线性差分方程具有周期解的充要条件。