局部希尔伯特空间的直接积分与分解

本文中，我们通过使用局部标准测度空间的概念（类似于经典设置中定义的标准测度空间），引入局部希尔伯特空间直接积分的概念，这些局部标准测度空间通过考虑可测空间的严格诱导系统以及有限测度的射影系统获得。接着，我们定义由局部希尔伯特空间家族的直接积分给出的局部希尔伯特空间。随后，我们引入可分解的局部有界算子和可对角化的局部有界算子。进一步地，我们证明，可对角化的局部有界算子类是一个阿贝尔局部von Neumann代数，这可以作为可分解的局部有界算子的对 commutant。最后，我们讨论以下逆问题：对于局部希尔伯特空间$\mathcal{D}$和阿贝尔局部von Neumann代数$\mathcal{M}$，是否存在一种局部标准测度空间和一族局部希尔伯特空间，使得(1)局部希尔伯特空间$\mathcal{D}$被识别为该族局部希尔伯特空间的直接积分；(2)阿贝尔局部von Neumann代数$\mathcal{M}$被识别为所有可分解的局部有界算子的阿贝尔局部von Neumann代数？我们对某一类阿贝尔局部von Neumann代数肯定回答了这个问题。