降维作为网格细化与追踪偏微分方程奇性的工具

我们提出了一系列利用降维来执行网格细化并研究含时偏微分方程可能出现的奇性解的算法。这些算法的灵感来源于统计力学中用于评估系统在临界点附近性质的构造。第一个算法能够精确确定可能出现的奇性的发生时间。第二个算法是一种自适应网格细化方案，可用于高效逼近可能的奇性。最后，第三个算法在可用分辨率耗尽之前（即逼近可能的奇性时）使用第二个算法，然后切换到降维模型；当该模型足够精确时，它能够忠实追踪解在假定奇性出现时间之后的行为。精确的降维模型应以正确的速率耗散能量。我们为每种算法构建了两种变体。第一种变体假设我们已经掌握了降维模型的具体形式。第二种变体假设我们仅已知降维模型的形式，即降维模型中出现的各项，但不一定知道其系数。在这种情况下，我们还提供了一种确定系数的方法。我们给出了零黏性和非零黏性情况下 Burgers 方程的数值结果，以说明这些算法的应用。