确定性文档交换协议及近乎最优的编辑错误二进制码

我们研究关于编辑错误的两个基本问题，即文档交换与编辑错误纠正码（插入删除码）。对于消息长度$n$与编辑错误上界$k$，已知在这两个问题中最优草图大小或最优冗余位数均为$\Theta(k \log \frac{n}{k})$。然而，已知构造远未达到这些界。我们显著改进了先前在这两个问题上的结果。对于文档交换，我们给出一种草图大小为$O(k\log^2 \frac{n}{k})$的高效确定性协议。这显著改进了先前最优的确定性协议，其草图大小为$O(k^2 + k \log^2 n)$（Belazzougui15）。对于二进制插入删除码，我们得到如下结果：1. 一种显式二进制插入删除码，以冗余$O(k \log^2 \frac{n}{k})$对$n$位消息$x$编码以抵抗$k$个错误。特别地，这蕴含一类显式二进制插入删除码族，可纠正$\varepsilon$比例的插入与删除，速率为$1-O(\varepsilon \log^2 (\frac{1}{\varepsilon}))=1-\widetilde{O}(\varepsilon)$。2. 一种显式二进制插入删除码，以冗余$O(k \log n)$对$n$位消息$x$编码以抵抗$k$个错误。这是首个对广泛错误参数$k$具有最优冗余的显式二进制插入删除码构造，并将我们对二进制插入删除码的理解大幅拉近至标准二进制纠错码。在取得结果的过程中，我们引入了\emph{$\varepsilon$-自匹配哈希函数}与\emph{$\varepsilon$-同步哈希函数}的概念。我们相信我们的技术可在文献中有进一步应用。