利用非对称Ramanujan图确定性补全矩形矩阵：精确与稳定恢复

在本文中，我们研究矩阵补全问题：假设 $X \in {\mathbb R}^{n_r \times n_c}$ 未知，仅知其秩的上界 $r$。通过测量 $X$ 的少量元素 $m \ll n_r n_c$，是否可能在无噪声测量下精确恢复 $X$，或在有噪声测量下构造 $X$ 的良好近似？这些问题的现有解涉及均匀随机采样元素，且只能以高概率保证未知矩阵的精确恢复。在本文中，我们提出一种用于矩阵补全的确定性采样方法。我们通过将采样集选为非对称Ramanujan二部图的边集来实现这一点，恢复方法为约束核范数最小化。具体而言，我们推导了在无噪声测量下未知矩阵被精确补全、以及在有噪声测量下被近似补全（我们称之为“稳定”补全）的充分条件。此处推导的条件仅为充分条件，且比随机采样更具限制性。为研究它们距离成为必要条件有多近，我们使用Ramanujan图的LPS族对随机生成的低秩矩阵进行了数值模拟。这些模拟证明了两个事实：（i）为实现精确补全，似乎只需将Ramanujan图的度 $d$ 选为 $\geq 3r$。（ii）存在“相变”现象，即若秩仅比临界值增加一或二，成功的可能性就会从100%骤降至0%。相变现象在使用 $\ell_1$ 范数最小化的向量恢复中已为人熟知且被充分研究。然而，它在矩阵补全和核范数最小化中较少被研究，且未被充分理解。