完备栈上可降维的忠实平坦覆盖

1981 年，L. Gruson 和 C. U. Jensen 给出了一套新证明：在Krull维数为 $n$ 或基数小于 $\aleph_n$ 的环上，任意平坦模的投射维数最多为 $n$。在本短文中，我们注意到他们的论证适用于完备栈上准协变层的情形。作为结果，我们显示，对于任意完备栈 $\mathfrak{X}$，若存在忠实平坦覆盖 $p : \mathrm{Spec}(R) \to \mathfrak{X}$，其中 $R$ 为有限Krull维数的 Noetherian $\mathbb{E}_{\infty}$-环或满足基数限制 $2^{|\pi_*(R)|} < \aleph_{\omega}$，则 $p_*(\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R)})$ 是 $\mathrm{QCoh}(\mathfrak{X})$ 中的可降维代数。