深度广义薛定谔桥：从图像生成到解均值场博弈

广义薛定谔桥（GSBs）是一种用于分析基于最小作用原理（包括动能和势能）的粒子最可能演化路径的数学框架。在量子力学和最优传输等理论领域已得到广泛应用。本文着重于算法视角，旨在提升实际应用。我们观察到，由 GSBs 确定的最优结构的运输问题在多个科学领域广泛存在，例如机器学习中的生成模型、随机控制中的均值场博弈等。探索 GSBs 与现代算法表征之间的内在联系，是一个关键且尚未被充分利用的方向。本文将 GSBs 重新解释为概率模型，证明运用一种称为非线性费曼-卡茨 lemma 的微妙数学工具，诸如似然值、变分间隙和时间差等丰富的算法概念从 GSBs 的最优结构中自然地浮现。所得计算框架基于深度学习和神经网络，在完全连续状态空间（即无网格）中运行，满足分布约束，区别于依赖空间离散化或约束松弛的先前数值求解器。我们在生成模型和均值场博弈中展示了该方法的有效性，突显了其在数学建模、随机过程、控制和机器学习交叉领域的变革性应用。