带权有向图中的递减式单源最短路：更快速且抵御自适应对手

给定一个经历边删除的动态有向图 $G = (V,E)$，以及 $s\in V$ 和 $\epsilon>0$，我们考虑在删除序列上维护从 $s$ 到 $G$ 中所有顶点的 $(1+\epsilon)$-近似最短路径距离的问题。Even 与 Shiloach（J.~ACM'$81$）给出了该问题精确版本的确定性数据结构，总更新时间为 $O(mn)$。Henzinger 等（STOC'$14$，ICALP'$15$）给出了近似版本的蒙特卡洛数据结构，将总更新时间改进为 $O(mn^{0.9 + o(1)}\log W)$，其中 $W$ 为最大与最小边权之比。其数据结构的一个缺陷是仅能抵御无关对手（oblivious adversary），即删除序列需预先固定，这限制了其作为算法内部黑盒的应用。我们提出如下 $(1+\epsilon)$-近似数据结构：（1）第一个为拉斯维加斯型且抵御自适应对手，对非加权图总期望更新时间为 $\tilde O(m^{2/3}n^{4/3})$，对带权图为 $\tilde O(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$；（2）第二个为拉斯维加斯型并假设无关对手，对非加权图总期望更新时间为 $\tilde O(\sqrt m n^{3/2})$，对带权图为 $\tilde O(m^{2/3}n^{4/3}\log W)$；（3）第三个为蒙特卡洛型，在无关对手下以高概率正确，总期望更新时间为 $\tilde O((mn)^{7/8}\log W) = \tilde O(mn^{3/4}\log W)$。我们的每个数据结构均可在 $G$ 的任意阶段以最坏情况常数时间查询；若对手无关，查询还可扩展为以正比于路径长度的时间报告该路径。我们的更新时间在所有图密度下均快于 Henzinger 等。