$(1-\epsilon)$-近似全动态最稠密子图：线性空间与更快更新时间

我们考虑在无向多重图中维护最稠密子图（DSG）的 $(1-\epsilon)$-近似的问题，该图经历边的插入与删除（全动态设定）。Sawlani 与 Wang [SW20] 开发了一种数据结构，对任意给定 $\epsilon > 0$，以 $O(\log^4 n/\epsilon^6)$ 最坏情况更新时间维护 $(1-\epsilon)$-近似用于边操作，并以 $O(1)$ 查询时间报告密度值。他们的数据结构是首个达到近最优近似的，并改进了此前以摊还多对数更新时间维护 $(1/4 - \epsilon)$ 近似的工作 [BHNT15]。本文中我们开发了用于 $(1-\epsilon)$-近似 DSG 的数据结构，从两方面改进了 [SW20] 的结构。首先，该数据结构使用线性空间，将 [SW20] 的空间界改进了一个对数因子。其次，该数据结构以摊还 $O(\log^2 n/\epsilon^4)$ 每更新时间维护 $(1-\epsilon)$-近似，同时保证最坏情况更新时间为 $O(\log^3 n \log \log n/\epsilon^6)$。我们认为空间与更新时间的改进对当前大规模图数据集是有价值的。该数据结构自然推广到超图，并相较近期基于 [SW20] 的工作 [BBCG22] 在空间与更新时间上取得改进。