具有连续模的可判定扇形定理与一致连续性定理

一致连续性定理（UCT）指出，单位区间上每个逐点连续的实值函数都是一致连续的。在构造性数学中，UCT 强于可判定扇形定理（DFT）；然而，Loeb [Ann. Pure Appl. Logic, 132(1):51-66, 2005] 已证明，借助将“连续函数”适当编码为一类对象，这两个原理变得等价。遗留的问题是，能否通过使用自然子类逐点连续函数而不依赖此类编码的较弱版本 UCT 来刻画 DFT。我们证明，当“逐点连续”被替换为“具有连续模”时，UCT 与 DFT 等价。我们还证明，这一弱化版的 UCT 等价于 Cantor 空间 $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ 上实值函数的类似原理。这些结果推广了 Berger 用从 $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ 到 $\mathbb{N}$ 的函数的类似原理对 DFT 的刻画，并将这些关于具有连续模的函数的 DFT 刻画统一起来。此外，我们直接证明了单位区间上具有连续模的连续实值函数，恰好是那些容许 Loeb 所提出的“连续函数”编码的函数。我们的结果使我们能在通常的数学语境中解读她的工作。