FIFO 最短队列加入网络在平衡态下的尾部衰减

在最短队列加入网络中，到达的作业被分配到从 $N$ 个队列系统中随机选择的 $D$ 个队列子集中最短的一个；在其队列完成服务后，作业离开网络。我们还假设作业以速率 $\alpha N$ 的 Poisson 过程到达系统，$\alpha<1$，每个队列的服务速率为 1。当队列的服务时间服从指数分布时，Vvedenskaya 等人 [Probl. Inf. Transm. 32 (1996) 15-29] 证明了在 $N\rightarrow\infty$ 的极限下，平衡队列长度的尾部呈双重指数衰减。这相较于 $D=1$ 时队列长度呈指数衰减的情况是一个显著的改进。[Probl. Inf. Transm. 32 (1996) 15-29] 中的推理不易推广到具有非指数服务时间分布的作业。Bramson 等人 [In Proc. ACM SIGMETRICS (2010) 275-286] 引入了一个模块化程序来处理一般的服务时间分布。该程序依赖于一个 ansatz，该 ansatz 断言，在平衡态下，当 $N\rightarrow\infty$ 时，任意固定数量的队列彼此变得独立。这一 ansatz 在 Bramson 等人 [Queueing Syst. 71 (2012) 247-292] 的多个设定中得到了证明，包括服务规则为 FIFO 且服务时间分布具有递减失效率的网络。在本文中，我们研究了当服务规则为 FIFO 且服务时间分布服从具有给定指数 $-\beta$（$\beta>1$）的幂律时，队列在平衡态下当 $N\rightarrow\infty$ 时的极限行为。我们在上述 ansatz 下证明，当 $N\rightarrow\infty$ 时，平衡队列长度的尾部根据 $\beta$ 和 $D$ 之间的关系表现出广泛的行为。特别地，如果 $\beta>D/(D-1)$，尾部是双重指数的；如果 $\beta<D/(D-1)$，尾部服从幂律。当 $\beta=D/(D-1)$ 时，尾部呈指数分布。