二到无穷范数下的 Davis-Kahan 定理及其在完美聚类中的应用

许多统计应用，如主成分分析、矩阵补全、张量回归等，都依赖于对矩阵前导特征向量的准确估计。已知 Davis-Kahan 定理在界定总体特征向量矩阵 $U$ 及其样本版本 $\widehat{U}$ 之间的距离上界中起着关键作用。虽然这些距离可以用各种度量来衡量，但最近的发展表明了在二到无穷范数下评估偏差的优势。本文的目的是开发一个工具箱，用于在各种可能的情况下推导 $U$ 和 $\widehat{U}$ 之间在二到无穷范数下距离的上界。尽管这个问题已经被几位作者研究过，但本文与其前身的不同之处在于，上界是在各种不同的假设集下获得的。上界最初在误差无概率假设或仅有温和概率假设的情况下推导，随后在误差满足某些通用概率假设时进行细化。本文还提供了在重尾或指数快速衰减误差情况下上界的修正。此外，本文提出了评估 $\widehat{U}$ 的替代方法，从而能够比较由此产生的准确性。作为本文技术应用的示例，我们在一般设置下推导了完美聚类的充分条件，并将其应用于各种场景。