加权匹配的数据结构及其到 $b$-匹配和 $f$-因子的扩展

本文证明了一般图上的加权匹配问题可在 $O(n(m + n\log n))$ 时间内求解，其中 $n$ 和 $m$ 分别为顶点数和边数。此前这一结果仅对二部图已知。关键在于一种用于花创建的的数据结构。它使用动态最近公共祖先算法来简化花步骤，使其仅涉及回边而非任意非树边。本文其余部分给出了 Edmonds 花算法到加权 $b$-匹配和 $f$-因子的直接扩展。同样，时间界是此前仅对二部图已知的结果：对于 $b$-匹配，时间为 $O(\min\{b(V),n\log n\}(m + n\log n))$；对于 $f$-因子，时间为 $O(\min\{f(V),m\log n\}( m + n\log n) )$，其中 $b(V)$ 和 $f(V)$ 表示所有度约束之和。给出了 $f$-因子算法的若干直接应用：\cite{GS13} 中的广义最短路径结构，即保守无向图的最短路径树的类似物，被证明是 $f$-因子花结构的一个版本。该结构可在 $O(|N|(m+n\log n))$ 时间内找到，其中 $N$ 为负边集合 ($0<|N|<n$)。最短 $T$-连接可在 $O(n(m+n\log n))$ 时间内找到，或当所有代价非负时在 $O(|T|(m+n\log n))$ 时间内找到。这些界均是对先前已知结果的轻微改进，且仅通过 $f$-因子算法的适当初始化即可实现。