良连接集的循环 I: 有向循环打包的一个初等上界

1996年，Reed、Robertson、Seymour和Thomas [Combinatorica 1996] 证明了Younger猜想，该猜想指出：对于所有有向图 $D$，存在一个函数 $f$，使得如果 $D$ 不包含 $k$ 个不相交的循环，则 $D$ 包含一个反馈顶点集（即删除后使图无环的顶点子集），其大小以 $f(k)$ 为界。然而，Reed、Robertson、Seymour和Thomas在其论文中得到的函数是巨大的，实际上甚至不是初等的。我们证明了上述函数 $f$ 的第一个初等上界，表明它被高度为8的幂塔所界定。我们的证明受到Chekuri和Chuzhoy [J. ACM 2016] 突破性结果的启发，他们证明了无向图排除网格定理的多项式界。我们将他们证明中的一个关键概念转化为有向图，引入了路径良连接集(PWS)，并证明任何具有大有向树宽的有向图都包含一个大PWS，而大PWS又包含一个大围栏。我们相信，本文开发的理论工具可能具有超越上述结果的应用，类似于Chekuri和Chuzhoy [J. ACM 2016] 的路径集系统框架对无向图的作用（例如，参见Hatzel、Komosa、Pilipczuk和Sorge [Discret. Math. Theor. Comput. Sci. 2022]、Chekuri和Chuzhoy [SODA 2015] 以及Chuzhoy和Nimavat [arXiv 2019]）。事实上，在后续论文中，我们将应用该框架来改进有向网格定理的界。