退化有界图在本地差分隐私下的环计数

我们提出了一种在本地差分隐私下对退化有界输入图进行环计数的算法。许多研究关注在该隐私概念下进行三角形计数，证明了这些算法的期望 $\ell_2$-误差为 $\Omega(n^{1.5})$，其中 $n$ 是图中的节点数。当以长度为 4 的环（$C_4$）的数量为参数时，现有的最佳三角形计数算法的误差为 $O(n^{1.5} + \sqrt{C_4}) = O(n^2)$。在本文中，我们引入了一种期望 $\ell_2$-误差为 $O(\delta^{1.5} n^{0.5} + \delta^{0.5} d_{\max}^{0.5} n^{0.5})$ 的算法，其中 $\delta$ 是退化度，$d_{\max}$ 是图的最大度。对于实际社交网络中常见的退化有界图（$\delta \in \Theta(1)$），我们的算法实现了 $O(d_{\max}^{0.5} n^{0.5}) = O(n)$ 的期望 $\ell_2$-误差。我们算法的核心思想是在对所有节点的度进行近似排序的预处理步骤之后，进行精确的三角形计数。这种方法可以扩展到近似计算长度为 $k$ 的环的数量，并保持类似的 $\ell_2$-误差，即 $O(\delta^{(k-2)/2} d_{\max}^{0.5} n^{(k-2)/2} + \delta^{k/2} n^{(k-2)/2})$，对于退化有界图则为 $O(d_{\max}^{0.5} n^{(k-2)/2}) = O(n^{(k-1)/2})$。