环面上点灯人链的截断现象：维数插值与相变

给定一个有限连通图 $G$，其上的点灯人链是关联点灯人图 $G^\diamond={\mathbf Z}_2 \wr G$ 上的惰性随机游走 $X^\diamond$。已知环面 ${\mathbf Z}_n^d$ 上点灯人链的混合时间在 $d=2$ 时具有渐近于 ${\mathbf Z}_n^d$ 覆盖时间的截断，而在 $d \ge 3$ 时具有渐近于覆盖时间一半的截断。我们证明了当 $n \to \infty$ 时，$G_n(a)={\mathbf Z}_n^2 \times {\mathbf Z}_{a \log n}$ 上点灯人链的混合时间在 $\psi(a)$ 倍 $G_n(a)$ 覆盖时间处具有截断，其中 $\psi$ 是从 $(0,\infty)$ 到 $[1/2,1)$ 的显式弱递减映射。特别地，随着 $a > 0$ 的变化，该阈值在 ${\mathbf Z}_n^2$ 和 ${\mathbf Z}_n^3$ 的已知阈值之间连续插值。令人惊讶的是，我们在点 $a_*=\pi r_3 (1+\sqrt{2})$ 处发现了一个相变（即 $\psi$ 的非光滑性），高维行为（对所有 $a \ge a_*$ 有 $\psi(a)=1/2$）由此开始。此处 $r_3$ 是 ${\mathbf Z}^3$ 中从 $0$ 到 $\infty$ 的有效电阻。