矩阵的割范数与谱

本文的目标之一是解决Lovász关于图谱与割距离之间关系的开放问题。本文首先给出了任意复矩阵的两种割范数版本与两个最大奇异值之间的若干不等式，特别地，这推广了著名的图论扩展器混合引理，并给出了其迄今未知的逆命题。接下来，为Hermitian矩阵以及分别针对任意复矩阵定义了割距离；利用这些推广，我们给出了两个矩阵对应特征值和奇异值之差的上下界，从而解决了Lovász的问题。最后，我们推导了一个谱采样定理，该定理非正式地表明，实对称矩阵的几乎所有主子矩阵在谱上都与其相似。