尖点平面曲线、合冲与 MW-秩的一个界

设 $C=Z(f)$ 为一条次数为 $6k$ 的约化平面曲线，仅以结点和普通尖点作为奇点。令 $I$ 为 $C$ 上尖点所在点的理想。设 $\oplus S(-b_i)\to \oplus S(-a_i) \to S\to S/I$ 为 $I$ 的一个极小消解。我们证明 $b_i\leq 5k$。由此我们得到椭圆三维簇 $W:y^2=x^3+f$ 的 Mordell-Weil 秩等于 $2\#\{i\mid b_i=5k\}$。利用这一点，我们找到 $W$ 的 Mordell-Weil 秩的一个上界，为 $1/18 (125+\sqrt{73}-\sqrt{2302-106\sqrt{73}})k+l.o.t.$，并找到 $C$ 的 Alexander 多项式中 $(t^2-t+1)$ 的指数的一个上界，为 $1/36(125+\sqrt{73}-\sqrt{2302-106\sqrt{73}})k+l.o.t.$。这几乎以因子 2 改进了 Cogolludo 和 Libgober 最近的一个界。