手性 Dirichlet 能量的弯曲薄膜极限

我们研究了一族在 $\mathbb{R}^n$ 的 $(n - 1)$ 维子流形 $N$ 的管状邻域内定义、取值于 $\mathbb{R}^m$ 的 $(m - 1)$ 维子流形 $M$ 的 $H^1$ Sobolev 映射空间中受扰动的 Dirichlet 能量的弯曲薄膜极限。我们所考虑的扰动 $\mathsf{K}$ 由一个定义在 $M$ 上、取值于 $\mathbb{R}^{m \times n}$ 的矩阵值函数表示。在 $N$、$M$ 和 $\mathsf{K}$ 的自然正则性假设下，我们证明这族能量在 $\Gamma$-收敛意义下收敛到 $N$ 上一个出乎意料的能量泛函，该泛函在磁 skyrmion 理论中尤为引人关注。作为我们结果的副产品，我们得到在弯曲薄膜极限下，反对称交换相互作用也会在一个各向异性项之下显现，该项的特定形状同时依赖于薄膜的曲率与目标流形的曲率。微磁学变分理论中的各类反对称交换相互作用是我们工作的灵感来源与动机。