平面美学曲线的曲率

Farin 提出了一种设计具有单调曲率和挠率的贝塞尔曲线的方法。此类曲线因其美观形状在设计中有重要意义。该方法依赖于对曲线控制多边形的第一条边施加矩阵 M，并通过迭代得到其余边。利用此方法，给出了矩阵 $M$ 的充分条件，从而引出 A 类曲线的定义，推广了 Mineur 等人关于平面曲线（M 为伸缩与旋转之复合）的先前结果。然而，Cao 和 Wang 给出了此类条件的反例。本文中，我们重访 Farin 利用细分算法将曲线每点曲率关联到初始点曲率的思路，以给出平面曲线曲率关于矩阵 M 特征值与种子向量（控制多边形第一条边）的闭式公式。此外，我们给出产生单调曲率平面曲线的新条件。主要区别在于我们不要求关于特征值的条件在曲线细分下保持。这有助于统一推导现有结果并在平面情形得到更一般的结果。