kagome 格子 Potts 模型的临界流形

任何二维无限规则格子 $G$ 都可以通过用 $G$ 的有限子图 $B$ 对平面进行平铺来产生；我们称 $B$ 为 $G$ 的基。我们引入了一个依赖于 $B$ 及其在 $G$ 中嵌入的双参数图多项式 $P_B(q,v)$。我们证明代数曲线 $P_B(q,v) = 0$ 为定义在 $G$ 上、耦合常数为 $v = \exp(K)-1$ 的 $q$ 态 Potts 模型的临界流形提供了近似。该曲线预测了铁磁 ($v>0$) 和反铁磁 ($v<0$) 区域的相图。对于更大的基 $B$，近似变得越来越精确，我们猜想 $P_B(q,v) = 0$ 在无限 $B$ 的极限下提供了精确的临界流形。此外，对于某些格子 $G$，或对于任意 $G$ 上的 Ising 模型 ($q=2$)，$P_B(q,v)$ 对于 $B$ 的任何选择都会分解：循环因子的零集即提供了精确的临界流形。在这个意义上，$P_B(q,v)$ 的计算可用于检测 $G$ 上 Potts 模型的精确可解性。我们以方格子和 kagome 格子为例说明了该方法，其中方格子上的 Potts 模型已被精确求解，而 kagome 格子上的则尚未被求解。对于方格子，我们正确地重现了已知的相图，包括反铁磁相变和 Berker-Kadanoff 相中的奇点。对于 kagome 格子，采用具有六条边的最小基，我们恢复了 F.Y. Wu 的一个著名（但现已被推翻）的猜想。更大的基对该公式提供了逐步改进，给出了 Wu 方法的自然推广。多项式预测与数值计算结果高度一致。对于 $v>0$，6 边基预测的临界耦合 $v_c$ 的精度在 $10^{-4}$ 或 $10^{-5}$ 量级，并在所研究的最大基（36 边）下提高到 $10^{-6}$ 或 $10^{-7}$。