三维 Hofstadter 模型中 Weyl 点的临界磁通

我们研究了立方晶格上三维 Hofstadter 模型的能带结构，其中各向同性磁场沿立方体对角线方向施加，磁通量为 $\Phi=2 \pi \cdot m /n$，其中 $m,n$ 为互质整数。利用动量空间中的约化精确对角化方法，我们证明了在固定 $m$ 时，存在一个与特定磁通值相关联的整数 $n(m)$，我们将其记为 $\Phi_c(m) \equiv 2 \pi \cdot m/n(m)$，该磁通值将两个不同的区域分隔开。第一个区域对应于 $\Phi<\Phi_c(m)$，其特征是能带完全重叠；而第二个区域对应于 $\Phi>\Phi_c(m)$，其特征是在态密度中存在孤立的能带接触点，且在第 $m$ 条与第 $(m+1)$ 条能带之间存在 Weyl 点。在 Hasegawa 规范下，第 $(m+1)$ 条能带的极小值在临界磁通 $\Phi_c(m)$ 处从 $k_z=0$ 突变至 $k_z=\pi$。随后我们论证了 $\Phi_c(m)$ 在大 $m$ 极限下存在且有限：$\lim_{m\to \infty} \Phi_c(m) \equiv \Phi_c$。我们的估计值为 $\Phi_c/2\pi=0.1296(1)$。基于对 $m\leq60$ 的整数所确定的 $n(m)$ 值，我们提出了一个关于 $\Phi_c(m)$ 形式的数学猜想，以用于大 $m$ 极限。由该猜想得到的渐近临界磁通为 $\Phi_c^{{\rm (conj)}}/2\pi=7/54$。