用可数个连续函数覆盖不可数平方

我们证明存在一个可数的连续实函数族，其图像及其逆函数共同覆盖一个不可数平方，即形式为 $X\times X$ 的集合，其中 $X$ 是实线的一个不可数子集。这扩展了 Sierpi\'nski 于 1919 年提出的定理，该定理指出当且仅当 $S$ 的大小不超过 $\aleph_1$ 时，$S\times S$ 可以被可数个函数图像及其逆函数图像覆盖。我们的结果也受到了 Shelah 对不含完美矩形的平面 Borel 集研究的启发。