协方差表示、L^p-Poincaré 不等式、Stein 核与高维中心极限定理

我们探索协方差表示、Bismut 型公式与 Stein 方法之间的联系。首先，利用闭对称型理论，我们为 $\mathbb{R}^d$（$d \geq 1$）上若干著名的概率测度导出协方差表示。当可获得强梯度界时，这些协方差表示立即给出对所有 $p \in (1, +\infty)$ 与 $q = p/(p-1)$ 的 $L^p$-$L^q$ 协方差估计。接着，我们基于协方差表示重新审视 $\mathbb{R}^d$ 上标准高斯概率测度众所周知的 $L^p$-Poincaré 不等式（$p \geq 2$）。此外，对于非退化对称 $\alpha$-稳定情形，$\alpha \in (1,2)$，我们通过详细分析手头可用的各种 Bismut 型公式，得到 $p \in (1, \alpha)$ 时的 $L^p$-Poincaré 与伪 Poincaré 不等式。最后，利用闭型技术构造 Stein 核，当极限高斯概率测度各向异性时，我们在 $1$-Wasserstein 距离下获得定量的高维中心极限定理（CLT）。对参数的依赖完全显式，且收敛速率是最优的。