通过显式块对角化计算超立方体及其 $q$-模拟的生成树数量

图 $G$ 的生成树数量称为 $G$ 的\emph{复杂度}，记为 $c(G)$。令 C(n) 表示维度为 $n$ 的\emph{(二元)超立方体}。枚举组合学中的一个经典结果（基于显式对角化）指出 $c(C(n)) = \prod_{k=2}^n (2k)^{n\choose k}$。在本文中，我们使用显式块对角化方法推导了 C(n) 的两种 $q$-模拟的复杂度公式：定义于 $q\geq 2$ 的\emph{非二元超立方体} $\Cq(n)$，以及定义于素数幂 $q$ 的\emph{超立方体的向量空间模拟} $\Cfq(n)$。我们考虑了布尔代数的非二元与向量空间模拟。我们证明了在两种情况下，均存在一个（关于上升算子的）分次若尔当基，它（关于标准内积）是正交的，并且我们写出了若尔当链中相继向量长度之比（即奇异值）的显式公式。关于这些基的（规范化形式），$\Cq(n)$ 和 $\Cfq(n)$ 的拉普拉斯矩阵被块对角化，在非二元情形下有二次方量级的不同块，在向量空间情形下有线性量级的不同块，且每个块都是一个显式写出的实对称三对角矩阵，其重数和大小已知，大小至多为 $n+1$。在非二元情形下，我们通过显式写出特征向量进一步确定了块的特征值，从而得到了 $c(\Cq(n))$ 的显式公式（即使在二元情形下，该证明也提供了新的信息）。在向量空间情形下，我们尚无法确定块的特征值，但给出了一个包含“小”行列式（大小至多为 $n$）的关于 $c(\Cfq(n))$ 的实用公式。