有向图中的路径计数

如果一个有向图没有长度至多为 $k$ 的有向环（其中 $k$ 为正整数），则称其为 $k$-free 的。Thomassé 猜想，在 $n$ 个顶点的简单 2-free 有向图中，诱导的 3 顶点有向路径的数量至多为 $(n-1)n(n+1)/15$。我们展示了 Bondy 的一个未发表结果，证明此类路径的数量至多为 $2n^3/25$，并证明了对于循环区间有向图类，其上界为 $n^3/16$。我们还研究了界定 3-free 有向图中（非诱导）4 顶点路径数量的问题。利用 Bondy 关于 Thomassé 猜想的结果，我们展示了 $4n^4/75$ 的上界。