代价、$\ell^2$-Betti 数与某些代数作用的 sofic 熵

1987年，Ornstein 和 Weiss 发现，秩为2的自由群上的 Bernoulli $2$-移位映射到看似更大的 Bernoulli $4$-移位上。随着近期针对 sofic 群（特别是自由群）作用创建的熵理论，他们的例子展示了熵在因子映射下可能增加这一令人惊讶的事实。为了更好地理解这一现象，我们研究了 Ornstein--Weiss 映射对可数群的自然推广。我们将熵的增加与群的代价以及第一 $\ell^2$-Betti 数联系起来。更一般地，我们研究由单纯形作用产生的上边缘映射，并在一定假设下将 $\ell^2$-Betti 数与 Juzvinski{\u\i} 加法公式的失效联系起来。本工作建立在对代数作用的熵理论研究之上。我们证明，对于通过连续群自同构在 profinite 群上的作用，只要同宿子群稠密，拓扑 sofic 熵就等于关于 Haar 测度的测度 sofic 熵。对于剩余有限群的代数作用，我们找到了 sofic 熵等于周期点指数增长率的上确界的充分条件。