开对立 Schubert 胞中正则幂零 Hessenberg 簇的坐标环

Dale Peterson 发现了一个令人惊讶的结果：旗簇 $\mbox{GL}_n(\mathbb{C})/B$ 的量子上同调环同构于 Peterson 簇 $\mbox{Pet}_n$ 与 $\mbox{GL}_n(\mathbb{C})/B$ 中对应于单位元的对立 Schubert 胞 $\Omega_e^\circ$ 之交的坐标环。这是一项未发表的结果，因此相关文献可参阅 Kostant 与 Rietsch 的论文。$\mbox{GL}_n(\mathbb{C})/B$ 的量子上同调环的显式表示由 Ciocan-Fontanine 与 Givental-Kim 给出。本文中，我们引入他们表示的进一步量子化，使其反映 $\mbox{GL}_n(\mathbb{C})/B$ 中正则幂零 Hessenberg 簇 $\mbox{Hess}(N,h)$ 与 $\Omega_e^\circ$ 之交的坐标环。换言之，我们通过 Ciocan-Fontanine 与 Givental-Kim 给出的表示将 Peterson 的论断推广到正则幂零 Hessenberg 簇。作为我们定理的应用，我们证明了某个正则幂零 Hessenberg 簇 $\mbox{Hess}(N,h_m)$ 与 $\Omega_e^\circ$ 之交的奇异轨迹是某个 Schubert 簇与 $\Omega_e^\circ$ 的交，其中 $h_m=(m,n,\ldots,n)$，$1<m<n$。我们还看到 $\mbox{Hess}(N,h_2) \cap \Omega_e^\circ$ 与循环商奇点相关。