大 $N$ 下 $O(N)$ 对称 $\phi^4$ 理论的凸有效势

我们从一个有限格点系统出发并极其谨慎地取热力学极限，得到了大 $N$ 下 $O(N)$ 对称 $\phi^4$ 理论的有效势。在热力学极限下，它在对称相和破缺相中均为全局实值且凸。特别地，它在破缺相具有平坦底部。取连续极限，我们讨论了对平坦底部的重整化效应，并展示了三维和四维连续理论的的有效势。另一方面，有限格点系统中的有效势非凸。我们的数值研究表明，有效势的势垒高度随系统线性尺寸增大而变平。它按幂律衰减，指数约为 $-2$。该结果可从沿某一方向缓慢旋转场的组态占主导清楚地理解。