具有无滑移边界条件的Stokes方程浸没边界方法的收敛性研究

Peskin 的浸没边界（IB）模型与方法是最重要的建模工具与数值方法之一。已知 IB 方法在速度上具有一阶精度，但文献中几乎找不到针对具有规定速度边界条件的 Stokes 方程的严格理论证明。本文证明了：在二维空间中，Stokes 方程的压力在 $L^2$ 范数下收敛阶为 $O(\sqrt{h} |\log h| )$，而速度在无穷范数下收敛阶为 $O(h |\log h| )$。证明基于奇异源项分解、具有齐次与 Neumann 边界条件的有限格点上的离散 Green 函数、新发现的最简单 $L^2$ 离散 delta 函数，以及针对椭圆界面问题的 IB 方法收敛性证明 \cite{li:mathcom}。本文结论可应用于具有不同边界条件的问题，只要问题适定。证明过程还提供了一种将系统解耦为三个 Helmholtz/Poisson 方程而不影响收敛阶的高效方法。文中亦给出一个非平凡数值算例，以证实理论分析以及该简单的新离散 delta 函数。