自适应方法、Besov 空间与多层逼近的收敛速率
数值分析
2016-02-05 v2 经典分析与常微分方程
摘要
本文研究了与各向同性 -细化自适应有限元方法相关的逼近类的刻画。Binev、Dahmen、DeVore 和 Petrushev 的开创性工作表明，此类类与 Besov 空间相关。逆嵌入结果成立的参数范围相当有限，而最近 Gaspoz 和 Morin 等人证明，若用与均匀细化三角剖分的有限元逼近相关的适当逼近空间取代 Besov 空间，这一限制便会消失。我们将后者称为*多层逼近空间*，并论证这些空间自然地处于自适应逼近类与 Besov 空间之间的中间位置；换言之，将多层逼近空间分别与 Besov 空间或自适应逼近类联系起来，比直接从自适应逼近类过渡到 Besov 空间更为自然。特别地，我们证明了多层逼近空间到自适应逼近空间的嵌入，补充了 Gaspoz 和 Morin 的逆嵌入定理。此外，本文启动了对使用修正误差概念（即所谓*总误差*，包含能量误差与振荡项）定义的自适应逼近类的理论研究。近期研究表明，此类逼近类在自适应算法分析中自然出现。我们首先构建了一个足够通用的逼近理论框架以处理此类修正，随后将该抽象理论应用于由 Lagrange 有限元离散化的二阶椭圆问题，从而得到了修正逼近类的刻画，即问题解与数据属于某些逼近空间，而这些空间又与 Besov 空间相关。
引用
@article{arxiv.1408.3889,
title = {Convergence rates of adaptive methods, Besov spaces, and multilevel approximation},
author = {Tsogtgerel Gantumur},
journal= {arXiv preprint arXiv:1408.3889},
year = {2016}
}
备注
Shortened version to appear in Foundations of Computational Mathematics. 40 pages, 5 figures