非均匀黏菌动力学的收敛性

令 $c \in \mathbb{Z}^m_{> 0}$，$A \in \mathbb{Z}^{n\times m}$，且 $b \in \mathbb{Z}^n$。我们在相当一般的条件下证明，非均匀黏菌动力学 $$\dot{x}_e = a_e(x,t) \left(|q_e| - x_e\right)$$ 收敛到加权基追踪问题 minimize $c^T x$ subject to $A f = b$ and $|f| \le x$ 的最优解 $x^*$。此处，$f$ 和 $x$ 为实变量的 $m$ 维向量，$q$ 在约束 $A q = b$ 和 $\mathrm{supp}(q) \subseteq \mathrm{supp}(x)$ 下最小化能量 $\sum_e (c_e/x_e) q_e^2$，且 $a_e(x,t) > 0$ 为边 $e$ 在时间 $t$ 和状态 $x$ 下对差值 $|q_e| - x_e$ 的反应性。先前仅在均匀情形 $a_e(x,t) = 1$（对所有 $e$、$x$ 和 $t$）下证明了收敛性。我们还证明了动力学 $$\dot{x}_e = x_e \cdot \left( g_e \left(\frac{|q_e|}{x_e}\right) - 1\right),$$ 的收敛性，其中 $g_e$ 是满足 $g_e(1) = 1$ 的递增可微函数。先前仅在由两个由平行边连接的节点组成的图上的最短路径问题这一特殊情形下证明了收敛性。