线性系统上交替非线性 GMRES 的收敛性分析

在这项工作中，我们开发了一种深度为 $m$、周期为 $p$ 的交替非线性广义最小残差（NGMRES）算法，记为 aNGMRES($m, p$)，应用于线性系统。我们提供了理论分析，以量化在可对角化和对称正定情况下，以 Richardson 迭代作为初始猜测的单步 NGMRES($m$) 能在多大程度上提高底层定点迭代的收敛速度。我们的理论分析使我们更好地理解了哪些因素会影响收敛速度。此外，在特定条件下，我们证明了应用于 Richardson 迭代的 aNGMRES 与 GMRES 之间的周期等价性。具体而言，aNGMRES($\infty,p$) 和完全 GMRES 在迭代索引 $jp$ 处是相同的。因此，aNGMRES($\infty,p$) 可被视为求解线性系统的 GMRES 的替代方法。对于有限的 $m$，aNGMRES($m,m+1$) 和重启 GMRES（GMRES($m+1$)）的迭代在长度为 $p$ 的每个周期区间结束时（即迭代索引 $jp$ 处）是相同的。此外，我们提出了 aNGMRES 用于加速 Richardson 迭代时的收敛分析。aNGMRES($m,p$) 方法的优点在于每次迭代无需求解最小二乘问题，从而可以降低计算成本，并且能够增强对 NGMRES($m$) 可能出现的停滞的鲁棒性。