无限网络中的可控性与领导者节点比例

本文研究了当网络规模趋于无穷大时，由线性单积分器智能体组成的网络的可控性。我们首先通过在每个节点注入输入并要求网络可控性格拉姆矩阵 (controllability Gramian) 随维度增加而保持良态，来考察规模增大的影响。我们为“高度数节点对网络可控性构成挑战”这一直觉提供了理论依据。特别是，对于具有有界最大度数的网络，即使网络规模趋于无穷大，其可控性格拉姆矩阵也被证明仍保持良态。在星型、链型和环型网络的典型情形中，我们还提供了封闭形式的表达式，用网络规模界定了可控性格拉姆矩阵的条件数。接下来，我们考虑了领导者节点的选择和数量的影响，即仅驱动节点子集，并考察随着网络规模增加时格拉姆矩阵的最小特征值。据此，虽然对于有向星型拓扑，仅在一部分节点 ($f<1$) 注入输入永远无法使其在所有规模下可控；但对于路径或循环网络，设计者可以驱动非零比例的节点并将其分布在整个网络中，使得随着规模增加，格拉姆矩阵的最小特征值保持远离零。这些结果为大型网络及高度数节点的控制挑战提供了有趣的见解。