通过内蕴体积进行上下文搜索

我们研究上下文搜索问题，它是二分搜索的多维推广，涵盖了上下文决策中的许多问题。在上下文搜索中，学习者试图学习一个隐藏向量$v \in [0,1]^d$的值。每轮学习者被提供一个对抗选择的上下文$u_t \in \mathbb{R}^d$，提交对$\langle u_t, v\rangle$值的猜测$p_t$，得知$p_t < \langle u_t, v\rangle$是否成立，并承受损失$\ell(\langle u_t, v\rangle, p_t)$（对于某个损失函数$\ell$）。学习者的目标是在$T$轮过程中最小化其总损失。我们针对对称损失函数$\ell(\theta, p) = |\theta - p|$提出了一种上下文搜索算法，实现了$O_{d}(1)$的总损失。我们提出了一种用于动态定价问题（可视为上下文搜索问题的特例）的新算法，实现了$O_{d}(\log \log T)$的总损失，改进了先前已知的最佳上界$O_{d}(\log T)$，并匹配了已知下界（直至对$d$的多项式依赖）。两种算法都大量使用了积分几何领域的思想，最显著的是凸集的内蕴体积概念。据我们所知，这是内蕴体积在算法设计中的首次应用。