稳态轴对称引力场中的运动常数

在稳态轴对称引力场中，测试粒子的运动通常是不可积的，除非存在一个除能量和沿对称轴的角动量之外的非平凡运动常数。克尔-德西特时空中的卡特常数是迄今为止已知的唯一例子。提出的黑洞无毛定理的天体物理检验通常涉及比克尔族更一般的可积引力场，但这类场是否存在一直存在争议。为了阐明这个问题，我们通过系统地搜索动量多项式形式的非平凡运动常数来处理其牛顿类比，并得到两个定理。首先，通过求解一组二次可积性条件，我们建立了允许二次常数的稳态轴对称势族的存在性和唯一性。与克尔-德西特时空一样，该类势的质量矩满足“无毛”递推关系 $M_{2l+2}=a^2 M_{2l}$，并且该常数与二阶Killing-Stäckel张量具有诺特关联。其次，通过求解一组新的四次可积性条件，我们证明了四次常数不存在。值得注意的是，当质量矩满足广义“无毛”递推关系 $M_{2l+4}=(a^2+b^2)M_{2l+2}-a^2b^2 M_{2l}$ 时，这些条件的一个子集得到满足。然而，任何稳态轴对称真空势都不能非平凡地满足全部四次可积性条件。