Gog与Magog梯形的精细化计数的常数项公式
组合数学
2018-04-20 v1 数学物理
math.MP
摘要
Gog和Magog梯形是分别推广交替符号矩阵（ASM）和全对称自互补平面分拆（TSSCPP）的某些正整数数组。Zeilberger利用常数项公式证明了(n,k)-Gog梯形的数量与(n,k)-Magog梯形的数量相同，从而提供了迄今为止对Mills、Robbins和Rumsey于1986年提出猜想的弱版本的唯一证明。大约20年前，Krattenthaler推广了Gog和Magog梯形并表述了其猜想的扩展；最近，Biane和Cheballah进一步推广了Gog梯形并表述了一个相关猜想。在本文中，我们推导了广义Gog梯形各种精细化计数的常数项公式，包括Krattenthaler以及Biane和Cheballah所考虑的那些。为此，我们采用了一个关于截断单调三角形计数的结果，该结果又基于作者关于具有给定底行的单调三角形数量的算符公式。作为副产品，我们还通过包含ASM的反转数和互补反转数推广了单调三角形的算符公式。利用基于不相交格路和Lindström-Gessel-Viennot定理的经典方法，我们也推导出了Krattenthaler猜想中出现的精细化Magog梯形数的常数项公式以及行列式公式。最后，我们回顾并部分扩展了若干现有工具，这些工具可能有助于将Gog的常数项公式与Magog的常数项公式联系起来，以最终证明上述猜想。
引用
@article{arxiv.1804.07054,
title = {Constant term formulas for refined enumerations of Gog and Magog trapezoids},
author = {Ilse Fischer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1804.07054},
year = {2018}
}