一类双边一致随机图的连通性

基于双边一致的随机无向图由La和Kabkab于2015年提出并分析。该模型中含$n$个顶点的图构造使用对其他$n-1$个顶点的（随机）偏好序，且每个顶点仅依据自身偏好序偏好前$k$个其他顶点；一般地，$k$可为$n$的函数。当且仅当一条潜在边的两个顶点彼此偏好时，才在该图中构造此边。该随机图是Cooper和Frieze仅考虑顶点单边偏好的随机第$k$近邻图的推广。Moharrami等人研究了当$k$有限且$n$趋于无穷时此新随机图族中巨分支的出现及其大小。该随机图族的连通性性质尚未被形式化分析。在原始论文中，La和Kabkab猜想对于$k(t)=t \log n$，以高概率连通性在$t>1$时发生，而图在$t<1$时断开。我们给出了该猜想的证明。我们还将给出该图平均度的渐近式。