连接 Hodge 与 Sakaguchi-Kuramoto：单纯复形上耦合振子的数学框架

我们在带权单纯复形上构建了一个一般的 Kuramoto 模型，其中相位振子位于任意阶 $k$ 的单形上。关键地，我们引入了与 $k+1$ 单形定向无关的直线性和非线性失谐项，提供了 Sakaguchi-Kuramoto 模型的自然推广。进而，这给出了 Kuramoto 高阶参数作为势函数的广义表述，从而将动力学写为梯度流。通过选取结构渐趋复杂的单纯复形，我们研究了边上有振子的单纯复形 Sakaguchi-Kuramoto 模型的动力学性质，以凸显即便简单单纯复形也会涌现的动力学行为复杂性。我们置于边振子内禀频率向量位于 Hodge Laplacian 核中（即零线性失谐）的情形，并利用解 Hodge 分解理解了非线性失谐如何在正交子空间中耦合动力学。我们发现了多种动力学现象，例如在与 Hodge 子空间对齐的子空间中的部分同步丧失，以及在高失谐 regime 中单纯相位重锁定的涌现。