关于上三角矩阵与奇点的谱数猜想

Cecotti 与 Vafa 于 1993 年提出了一个优美的想法，将谱数 $\alpha_1,...,\alpha_n\in{\mathbb R}$ 关联到对角元为 1 且 $S^{-1}S^t$ 的特征值位于单位球中的实上三角 $n\times n$ 矩阵 $S$。特别地，$\exp(-2\pi i\alpha_j)$ 应为 $S^{-1}S^t$ 的特征值。我们试图使他们的想法严格化，但仅部分成功。本文修正了我们的结果与猜想。对于某些矩阵子族，他们的想法极为有效，且那里的谱数与自然的（分裂）极化混合 Hodge 结构吻合良好。我们提出精确的猜想，说明这应如何推广到所有上述矩阵 $S$。该想法在导出代数几何中的半正交分解背景下可能变得重要。我们的主要兴趣在于与具有孤立奇点（Landau-Ginzburg 模型）的全纯函数相关联的 Stokes 型矩阵的情形。对此我们也提出精确的猜想（与 Cecotti 和 Vafa 的期待相重叠）。在链型奇点情形，我们有正面结果。我们希望本文对进一步研究 Cecotti 与 Vafa 的想法有所助益。