共形变换与粒子态的倍增

利用四维动量 $q_{\mu}$ 的共形变换（$q'_{\mu}=q_{\mu}+h_{\mu}$, $q'_{\mu}=\Lambda^{\nu}_{\mu}q_{\nu}$, $q'_{\mu}=\lambda q_{\mu}$ 以及 $q'_{\mu}=-M^2q_{\mu}/q^2$）与 6D 锥面 $\kappa_A\kappa^A=0$ $(A=\mu;5,6\equiv 0,1,2,3;5,6)$ 上的相应旋转之间的等价性（其中 $q_{\mu}=M\ \kappa_{\mu}/(\kappa_{5}+\kappa_{6})$，$M$ 为标度参数），本文得到了四维 (4D) 相互作用场及其相应运动方程的 6D 和 5D 表示。锥面 $\kappa_A\kappa^A=0$ 上 6D 场的 4D 约简要求对场进行中间 5D 投影，这些场被置于两个 5D 双曲面 $q_{\mu}q^{\mu}+ q_5^2= M^2$ 和 $q_{\mu}q^{\mu}- q_5^2=- M^2$ 上，以覆盖 $q^2\equiv q_{\mu}q^{\mu}$ 的整个定义域 $(-\infty,\infty)$（其中 $q_5^2\ge 0$）。坐标空间中得到的 5D 和 4D 场 $\varphi(x,x_5=0)=\Phi(x)$ 由两部分组成：$\varphi=\varphi_1+\varphi_2$ 和 $\Phi=\Phi_1+\Phi_2$，其中 $\varphi_1(x,x_5)$ 和 $\varphi_2(x,x_5)$ 的傅里叶共轭分别定义在双曲面 $q_{\mu}q^{\mu}+ q_5^2= M^2$ 和 $q_{\mu}q^{\mu}- q_5^2=- M^2$ 上。6D、5D 和 4D 场之间的当前关系要求两类 5D 场 $\varphi_{\pm}=\varphi_1\pm\varphi_2$ 及其 4D 约简 $\varphi_{\pm}(x_5=0)=\Phi_{\pm}=\Phi_1\pm\Phi_2$，它们具有相同的量子数但具有不同的质量和源算符。这种 4D 场的倍增 $\Phi_{\pm}=\Phi_1\pm \Phi_2$ 与观察到的电子与 μ 子、$\pi$ 与 $\pi(1300)$ 介子、N 与 N(1440) 核子等的质量劈裂相一致 [1]。